نوشته شده توسط اسماعیل فرج پور، دکتر علی داوران دوشنبه ، 25 خرداد 1388 ، 19:47

مقاله - سازه های فولادی

میانگین امتیار کاربران: / 0
ضعیفعالی 

خلاصه
هدف اصلی از بهینه سازی سازه ها کاهش هزینه های ساخت یک سازه می باشد به طوریکه با وجود اقتصادی بودن طرح ، از هیچ یک از قیود و ضوابط مهندسی نیز عدول نگردد. بر این اساس برای بهینه سازی سازه ها روش های مختلفی ابداع گردیده که دراین تحقیق با برخی تغییرات دریکی از روش های بسیار ساده و اولیه بهینه سازی به نام Coordinate Descent از آن برای بهینه سازی هندسی خرپاها استفاده شده است. دراین تحقیق سعی شده به منظور افزایش سرعت بهینه سازی و کاهش زمان حل مسأله علاوه بر به کارگیری روش های سریع آنالیز ماتریسی و کاهش زمان محاسبه تابع هدف ، با ارائه یک الگوریتم جستجوی جواب بهینه و تعریف برخی ضرایب، ارتباط میان زمان بهینه سازی و این ضرایب، هم به طور تجربی و هم از طریق یک رابطه ریاضی محاسبه گردد و مقادیر مناسب این ضرایب برای کاهش زمان بهینه سازی بدست آید.
1-  مقدمه :
خرپاها به عنوان سازه هایی با ساختار ساده و آنالیز سریع به کرات برای بررسی و مقایسه الگوریتم های مختلف بهینه سازی بکار می روند. لذا طراحی بهینه سازه های خرپایی یک شاخه فعال تحقیقات در زمینه بهینه سازی می باشد. سه طبقه بندی عمده در بهینه سازی خرپاها شامل بهینه سازی اندازه (Cross–sectional areas Optimization) (سطوح مقاطع اعضاء به عنوان متغیرهای طراحی بوده و مختصات گره ها ونحوه اتصال آنها به یکدیگر ثابت فرض می گردد(1و2)، بهینه سازی هندسی (Geometry Optimization) (مختصات گره ها به عنوان متغیرهای طراحی فرض می شوند(2)) و بهینه سازی توپولوژی (Topology Optimization) می باشد که درآن چگونگی اتصال گره ها توسط اعضای خرپا معین می شود(5). در حل یک مسأله ممکن است هر دو مورد و یا هر سه مورد بالا به طور همزمان مد نظر قرار گیرد.

2- روش Coordinate Descent :
بر اساس روش Coordinate Descent مینیمم نسبی تابع هدف از تغییرات متوالی یکی از متغیرها در هر گام بدست می آید(شکل1)(3و4).

3- بهینه سازی یک بعدی (One-Dimensional Minimization):
در بسیاری از روش های بهینه سازی عددی ، یک مسأله بهینه سازی چند بعدی به چندین مسأله بهینه سازی یک بعدی ساده می شوند. در این  تحقیق به منظور پیدا کردن مینیمم تابع یک متغیره از الگوریتم ارائه شده در شکل 4 استفاده شده است. مطابق این الگوریتم در تابع f(x) با طول گام های اختیاری Delta x از نقطه اولیه  X0 به سمت نقطه بهینه Xoptimum حرکت می کنیم(شکل3). به منظور افزایش دقت برآورد مختصات نقطه بهینه همین روند با طول گام های کوچکتر تکرار می شود. طول گام ها در هر مرحله مطابق رابطه(1) با ضرب یک عدد بین صفر و یک ( ksr (step reduction) ) در گام مرحله پیش به دست می آید.

رابطه(1)                                    
متغیر فرض کردن طول گامها در روند جستجوی جواب بهینه اول سرعت همگرایی را افزایش می دهد و دوم احتمال گیر کردن در بهینه های محلی را به ویژه در گام های نخستین کاهش می دهد(شکل 2).

شکل2- تأثیر طول گامها در جهش از بهینه های محلی

شکل3- جستجوی مینیمم تابع یک متغیره

شکل4- فلوچارت جستجوی مینیمم تابع یک متغیره

4- آنالیزسازه و محاسبه تابع هدف:
در بهینه سازی سازه ها محاسبه تابع هدف ، شامل آنالیز سازه ، طراحی اعضاء و برآورد اقتصادی می باشد که ممکن است بر حسب مورد در هر مرحله محاسبه تابع هدف یک یا چندین بار انجام پذیرد. در تکرارهای متوالی، قسمت عمده ای از مقدمات فرآیند آنالیز سازه را می توان از گام قبلی به دست آورد، چرا که تغییرات تنها محدود به چند المان از کل المانهای سازه خواهد بود(شکل5)

شکل5- فلوچارت محاسبه تابع هدف در طی گامهای متوالی

5- بررسی یک مثال واصلاح الگوریتم Coordinate Descent:
در مورد نحوه بکارگیری فلوچارت جستجوی مینیمم توابع یک متغیره که مورد بحث قرار دادیم در الگوریتم کلی بهینه سازی توابع با بیش از یک متغیر دو شیوه مختلف را می توان بکار برد.
در شیوه نخستین که مسیر حرکت بسوی جواب به فرم شکل 1 می باشد، در هر مرحله از فرآیند جستجوی جواب بهینه تابع یک متغیره، این مقدار را تا رسیدن به دقت نهائی محاسبه می کنیم و آنگاه به سراغ متغیر های بعدی می رویم. به عنوان مثال خرپای شکل 6 را در نظر می گیریم. این خرپا شامل 5 متغیر طراحی می باشد که در واقع مختصات 3 گره فوقانی هستند. برای گره میانی تنها جابجائی در امتداد قائم مجاز است. برای سهولت از محدودیت های مربوط به کمانش اعضاء و قید خیز صرف نظر می شود و طراحی اعضاء به صورت Fully Stress می باشد .سایر پارامتر های لازم برای طراحی بهینه مطابق جدول 1 اختیار می گردد.

شکل6- مشخصات هندسه نخستین خرپا

شکل7- خرپای بهینه

در این مثال طول گام اولیه را 50 cm و ضریب کاهش گام را (kst=0.1) اختیار می کنیم. پس از بهینه سازی جواب نهایی به صورت شکل 7 بدست می آید .درشیوه  دوم طول گام ها را طی تکرار های بهینه سازی متغیر می گیریم.
یعنی ابتدا تمامی متغیرها را با یک گام ثابت به ترتیب بهینه می کنیم ، آن گاه گام را کوچکتر می کنیم و بهینه سازی را تا زمانیکه به دقت نهایی مورد نظر دست یابیم ادامه می دهیم. نتایج این حالت در نمودار شکل 8 ارائه شده است.
در کل تعداد دفعات محاسبه تابع هدف در حالت دوم بسیار کمتر از حالت اول می باشد .زیرا در این شیوه در تکرارهای اولیه تغییراتی که در مقدار هر یک از متغیر ها صورت می پذیرد، نسبت به تکرارهای پایانی بسیار زیاد می باشد. به همین سبب زمانی که ما در روش اول در هر مرحله از محاسبه مقدار مینیمم تابع یک متغیره، دقت بالایی را برای محاسبات اعمال می کنیم، بسیاری از عملیات زائد و بیهوده می باشد. اما در روش دوم این عمیلات زائد تا حد امکان کاسته شده و دقت محاسبه مینیمم متناسب با روند پیشرفت بهینه سازی افزایش می یابد.

شکل8- نمودار تعداد آنالیزهای لازم بهینه سازی بر حسب تغییرات ضریب کاهش طول گام Ksr

6- بررسی نقش ضرایب ksr و kis و ارائه رابطه ریاضی:
در بهینه سازی هندسی خرپاها گام نخستین را می توان به صورت تابعی از ویژگیهای خرپای اولیه و محدودیت های بهینه سازی که در مورد خرپا اعمال می گردد تعریف نمود ما این مقدار را مضربی از طول متوسط اعضای خرپای اولیه انتخاب کردیم. این ضریب را با نماد kis (initial step) نشان می دهیم.

رابطه(2)

تأثیرهمزمان این دو ضریب در موردخرپای شکل 6 بررسی شده و با انتخاب مقادیر مختلف این دو ضریب تعداد آنالیزهای لازم بدست آمده که نتایج در شکل 9 ارائه گردیده است.

شکل9- نمایش تغییرات تعداد آنالیزهای صورت گرفته بر حسب دو پارامتر ksr و kis

به منظور بررسی نقش ضرایب ksr و kis و همچنین سایر پارامترها بر روی تعداد دفعات محاسبه تابع هدف، آن را برحسب عوامل مختلف به صورت رابطه ریاضی(3) بیان کردیم.

رابطه(3)             
که در آن:
fs طول گام نهایی می باشد که مقدار آن را م یتوان معادل دقت عملیات فرض نمود.
Is طول گام نخستین است.
Ksr ضریب کاهش طول گام است.
n بیانگر تعداد متغیرهای بهینه سازی(متغیر های تصمیم)است.
l0 بیانگر طولی است که وابسته به نزدیکی یا دوری جواب اولیه به جواب نهایی بهینه سازی می باشد.
نتایج حاصل از رابطه (3)با نتایج تجربی بدست آمده درنمودار شکل 10 با هم مقایسه شده است.

شکل10- بررسی انطباق رابطه ریاضی با نتایج تجربی

در رابطه 3، N مینیمم بر حسب تغییرات ksr به صورت زیر محاسبه می شود.

این عدد بیانگر مقدار ایده آل ضریب ksr می باشد که وابسته به خود الگوریتم می باشد و مستقل از نوع مسأله مورد بحث است. مقدار تئوریک و ایده آل Is نیز به صورت زیر محاسبه می شود.

هرچند رابطه (9) مقدار گام اولیه Is مناسب را بیان می کند ولی چون مقدار l0  قبل از انجام فرآیند بهینه سازی معلوم نیست، لذا برای تعیین Is به طور تجربی از روابطی نظیر رابطه  (2)استفاده می کنیم.
با استفاده از رابطه (9) مقدار Is مناسب تئوریک برای مثال شکل 6 برابر است با:

این مقدار بیانگر ضریب kis ایده آل می باشد ، اما در عمل می توان هر عددی در محدوده kis = 0.3 ~ 0.75 را به کار برد . شکل 11 سطح تئوریک رسم شده توسط رابطه (3) را نشان می دهد. مقایسه این شکل با نتایج تجربی ارائه شده درشکل9 ، نشان دهنده انطباق خوب رابطه بدست آمده با مقادیر واقعی می باشد .

شکل11- مقادیر N بر حسب تغییرات ksr  و  kis

7- نتیجه گیری:
الگوریتم بهینه سازی ارائه شده می تواند به عنوان یک روش بهینه سازی ساده، سریع و مناسب برای حل پاره ای ازمسائل بهینه سازی مورد استفاده قرار گیرد. این روش در طی زمان بسیار مناسبی به جواب قابل قبولی همگرا می گردد و از سوی دیگر در این روش بهینه سازی می توان به سادگی انواع مختلف قیود، اعم از قیود طراحی و یا قیود رفتاری را اعمال نمود. در این شیوه بهینه سازی در هر گام تنها یکی از متغیرهای تصمیم، تغییر می نماید و  این ویژگی این امکان را می دهد که عملیات لازم برای انجام آنالیزهای متوالی کاهش یابد.

8- مراجع:

[1]Arora, J.S. Haug, E.J. 1979. Applied Optimal Design, Mechanical and Structural Systems. A Wiley-Inter science publication. pp. 506.
[2]. Deb , K. Gulati , S. 2001 Elsevier Science Ltd . Design of truss-structures for minimum weight using genetic algorithms . Finite Elements in Analysis and Design , 37 : 447-465 .
[3]. Kirsch, Uri. 1981. Optimum Structural Design. McGraw-Hill International Book Company. pp. 441.
[4]. Luo , Z.Q. Tseng , P. 1992 . On the Convergence of the Coordinate Descent Method for Convex
Differentiable Minimization . Journal of Optimization Theory and Applications . Vol. 72 , No. 1, pp. 7–35 .
[5]. Ohsaki , M. 1998 Elsevier Science Ltd . Simultaneous optimization of topology and geometry of a regular plane truss . Computers & Structures Vol. 66 , No. 1 , pp.69-77 .